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\documentclass[a4paper,german,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc} % Kompatibilität
\usepackage[ngerman]{babel} % Deutsche Silbentrennung
\usepackage{mathtools} % Viele Mathe-Tools
\usepackage{hyperref} % Links, die man klicken kann
\usepackage{xcolor} % mehr Farben
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry} % Seitengeometrie einstellen
\usepackage{graphicx} % Bilder einbinden.
\begin{document}
{\Large\textsc{Die Summe der natürlichen Zahlen}}
\tableofcontents
\section{Einleitung}
In dieser kurzen Abhandlung wollen wir erklären, wie man auf die (scheinbar)
\textbf{falsche} Aussage kommt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen
\textit{negativ} ist und einen Wert von minus einem Zwölftel annimmt.
% man kann Umlaute auch schreiben, indem man bspw. \"o für ö eingibt (sollte man
% bspw. die Umlaute nicht auf der eigenen Tastatur haben)
Warum diese Aussage zum einen nicht ganz \textcolor{red}{falsch} und zum anderen
auch \textcolor{blue}{wichtig} ist, wird euch vielleicht im Verlauf eures
Studiums klar werden. Ansonsten kann man sich auch einfach darüber freuen, dass
man etwas gelernt hat, was manchen Mathematikern die Haare zu Berge stehen lässt
-- nicht aber Bernhard \textsc{Riemann}.
\section{Erklärung}
Wir können die Aussage aus Abschnitt 1 auch in eine Formel
schreiben, das Resultat sehen wir vielleicht in einer Gleichung.
\subsection{Ist das wirklich korrekt?}
Diese Frage ist \textit{durchaus} berechtigt. Man kann aber auf formale Art und
Weise zeigen, dass die richtige Interpretation zum
Ergebnis führt.
\subsection{Na klar.}
Im vorigen Unterabschnitt haben wir bemerkt, dass wir die Summe auffassen
können als einen Grenzwert der Zetafunktion.
\section*{Epilog}
Dieser Teil soll nachher \textcolor{red}{nicht} im Inhaltsverzeichnis auftauchen, und
erhält damit auch keine Nummer. \\
Außerdem:
· Strukturierte Dokumente sind einfach mit \LaTeX.
· Makros machen einem das Leben leicht.
· Formeln -- und auch der ganze Rest -- sehen (noch nicht) toll aus.
· Referenzen auf alles mögliche, also (Unter)abschnitte,
Gleichungen, Abbildungen, Tabellen, ... sind automatisch richtig.
· Eigentlich ist das alles gar nicht so schwierig.
\end{document}
\documentclass[a4paper,german,12pt]{article}
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\usepackage{mathtools} % Viele Mathe-Tools
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\usepackage{graphicx} % Bilder einbinden.
\begin{document}
\begin{center}
{\Large\textsc{Die Summe der natürlichen Zahlen}}
\end{center}
\tableofcontents
\section{Einleitung}
In dieser kurzen Abhandlung wollen wir erklären, wie man auf die (scheinbar)
\textbf{falsche} Aussage kommt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen
\textit{negativ} ist und einen Wert von minus einem Zwölftel annimmt.
% man kann Umlaute auch schreiben, indem man bspw. \"o für ö eingibt (sollte man
% bspw. die Umlaute nicht auf der eigenen Tastatur haben)
Warum diese Aussage zum einen nicht ganz \textcolor{red}{falsch} und zum anderen
auch \textcolor{blue}{wichtig} ist, wird euch vielleicht im Verlauf eures
Studiums klar werden. Ansonsten kann man sich auch einfach darüber freuen, dass
man etwas gelernt hat, was manchen Mathematikern die Haare zu Berge stehen lässt
-- nicht aber Bernhard \textsc{Riemann}.
\section{Erklärung}
Wir können die Aussage aus Abschnitt 1 auch in eine Formel
schreiben, das Resultat sehen wir vielleicht in einer Gleichung.
\subsection{Ist das wirklich korrekt?}
Diese Frage ist \textit{durchaus} berechtigt. Man kann aber auf formale Art und
Weise zeigen, dass die richtige Interpretation zum
Ergebnis führt.
\subsection{Na klar.}
Im vorigen Unterabschnitt haben wir bemerkt, dass wir die Summe auffassen
können als einen Grenzwert der Zetafunktion.
\section*{Epilog}
Dieser Teil soll nachher \textcolor{red}{nicht} im Inhaltsverzeichnis auftauchen, und
erhält damit auch keine Nummer. \\
Außerdem:
\begin{itemize}
\item Strukturierte Dokumente sind einfach mit \LaTeX.
\item Makros machen einem das Leben leicht.
\item Formeln -- und auch der ganze Rest -- sehen (noch nicht) toll aus.
\item Referenzen auf alles mögliche, also (Unter)abschnitte,
Gleichungen, Abbildungen, Tabellen, ... sind automatisch richtig.
\item Eigentlich ist das alles gar nicht so schwierig.
\end{itemize}
\end{document}
\documentclass[a4paper,german,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc} % Kompatibilität
\usepackage[ngerman]{babel} % Deutsche Silbentrennung
\usepackage{mathtools} % Viele Mathe-Tools
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\usepackage[margin=1.5cm]{geometry} % Seitengeometrie einstellen
\usepackage{graphicx} % Bilder einbinden.
\begin{document}
\begin{center}
{\Large\textsc{Die Summe der natürlichen Zahlen}}
\end{center}
\tableofcontents
\section{Einleitung}
In dieser kurzen Abhandlung wollen wir erklären, wie man auf die (scheinbar)
\textbf{falsche} Aussage kommt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen
\textit{negativ} ist und einen Wert von minus einem Zwölftel annimmt.
% man kann Umlaute auch schreiben, indem man bspw. \"o für ö eingibt (sollte man
% bspw. die Umlaute nicht auf der eigenen Tastatur haben)
Warum diese Aussage zum einen nicht ganz \textcolor{red}{falsch} und zum anderen
auch \textcolor{blue}{wichtig} ist, wird euch vielleicht im Verlauf eures
Studiums klar werden. Ansonsten kann man sich auch einfach darüber freuen, dass
man etwas gelernt hat, was manchen Mathematikern die Haare zu Berge stehen lässt
-- nicht aber Bernhard \textsc{Riemann}.
\section{Erklärung}
Wir können die Aussage aus Abschnitt 1 auch in eine Formel
schreiben, das Resultat sehen wir vielleicht in dieser Gleichung:
\begin{equation}
\sum_{n=0}^\infty n = -\frac{1}{12}
\end{equation}
\subsection{Ist das wirklich korrekt?}
Diese Frage ist \textit{durchaus} berechtigt. Man kann aber auf formale Art und
Weise zeigen, dass die richtige Interpretation zum
Ergebnis führt.
\subsection{Na klar.}
Im vorigen Unterabschnitt haben wir bemerkt, dass wir die Summe auffassen
können als einen Grenzwert der Zetafunktion, $\zeta(-1) = -1/12$.
\section*{Epilog}
Dieser Teil soll nachher \textcolor{red}{nicht} im Inhaltsverzeichnis auftauchen, und
erhält damit auch keine Nummer. \\
Außerdem:
\begin{itemize}
\item Strukturierte Dokumente sind einfach mit \LaTeX.
\item Makros machen einem das Leben leicht.
\item Formeln -- und auch der ganze Rest -- sehen (noch nicht) toll aus.
\item Referenzen auf alles mögliche, also (Unter)$^n$abschnitte,
Gleichungen, Abbildungen, Tabellen, ... sind automatisch richtig.
\item Eigentlich ist das alles gar nicht so schwierig.
\end{itemize}
\end{document}
\documentclass[a4paper,german,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc} % Kompatibilität
\usepackage[ngerman]{babel} % Deutsche Silbentrennung
\usepackage{mathtools} % Viele Mathe-Tools
\usepackage{hyperref} % Links, die man klicken kann
\usepackage{xcolor} % mehr Farben
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry} % Seitengeometrie einstellen
\usepackage{graphicx} % Bilder einbinden.
\begin{document}
\begin{center}
{\Large\textsc{Die Summe der natürlichen Zahlen}}
\end{center}
\tableofcontents
\section{Einleitung}
In dieser kurzen Abhandlung wollen wir erklären, wie man auf die (scheinbar)
\textbf{falsche} Aussage kommt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen
\textit{negativ} ist und einen Wert von minus einem Zwölftel annimmt.
% man kann Umlaute auch schreiben, indem man bspw. \"o für ö eingibt (sollte man
% bspw. die Umlaute nicht auf der eigenen Tastatur haben)
Warum diese Aussage zum einen nicht ganz \textcolor{red}{falsch} und zum anderen
auch \textcolor{blue}{wichtig} ist, wird euch vielleicht im Verlauf eures
Studiums klar werden. Ansonsten kann man sich auch einfach darüber freuen, dass
man etwas gelernt hat, was manchen Mathematikern die Haare zu Berge stehen lässt
-- nicht aber Bernhard \textsc{Riemann}.
\begin{center}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{riemann.jpg}
Abbildung 1: Bernhard Riemann mit einem schönen Bart.
\end{center}
\section{Erklärung}
Wir können die Aussage aus Abschnitt 1 auch in eine Formel
schreiben, das Resultat sehen wir vielleicht in dieser Gleichung:
\begin{equation}
\sum_{n=0}^\infty n = -\frac{1}{12}
\end{equation}
\subsection{Ist das wirklich korrekt?}
Diese Frage ist \textit{durchaus} berechtigt. Man kann aber auf formale Art und
Weise zeigen, dass die richtige Interpretation zum
Ergebnis führt.
\subsection{Na klar.}
Im vorigen Unterabschnitt haben wir bemerkt, dass wir die Summe auffassen
können als einen Grenzwert der Zetafunktion, $\zeta(-1) = -1/12$.
\begin{center}
Tabelle 1: Wert der $n$-ten Partialsumme
\begin{tabular}{r|l}
$n$ & Wert \\ \hline
0 & 0 \\
1 & 1 \\
2 & 3 \\
3 & 6 \\
$\infty$ & $-1/12$
\end{tabular}
\end{center}
\section*{Epilog}
Dieser Teil soll nachher \textcolor{red}{nicht} im Inhaltsverzeichnis auftauchen, und
erhält damit auch keine Nummer. \\
Außerdem:
\begin{itemize}
\item Strukturierte Dokumente sind einfach mit \LaTeX.
\item Makros machen einem das Leben leicht.
\item Formeln -- und auch der ganze Rest -- sehen (noch nicht) toll aus.
\item Referenzen auf alles mögliche, also (Unter)$^n$abschnitte,
Gleichungen, Abbildungen, Tabellen, ... sind automatisch richtig.
\item Eigentlich ist das alles gar nicht so schwierig.
\end{itemize}
\vfill
% Der Befehl vfill fügt einen vertikalen Abstand ein, der den übrigen Platz
% ausfüllt
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{ctanlion.eps}
\end{center}
\vfill
% die beiden Abstände werden gleichmäßig verteilt. Das Bild erscheint also in
% der Mitte.
\end{document}
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\usepackage[utf8]{inputenc} % Kompatibilität
\usepackage[ngerman]{babel} % Deutsche Silbentrennung
\usepackage{mathtools} % Viele Mathe-Tools
\usepackage{hyperref} % Links, die man klicken kann
\usepackage{xcolor} % mehr Farben
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry} % Seitengeometrie einstellen
\usepackage{graphicx} % Bilder einbinden.
\begin{document}
\begin{center}
{\Large\textsc{Die Summe der natürlichen Zahlen}}
\end{center}
\tableofcontents
\section{Einleitung}
In dieser kurzen Abhandlung wollen wir erklären, wie man auf die (scheinbar)
\textbf{falsche} Aussage kommt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen
\textit{negativ} ist und einen Wert von minus einem Zwölftel annimmt.
% man kann Umlaute auch schreiben, indem man bspw. \"o für ö eingibt (sollte man
% bspw. die Umlaute nicht auf der eigenen Tastatur haben)
Warum diese Aussage zum einen nicht ganz \textcolor{red}{falsch} und zum anderen
auch \textcolor{blue}{wichtig} ist, wird euch vielleicht im Verlauf eures
Studiums klar werden. Ansonsten kann man sich auch einfach darüber freuen, dass
man etwas gelernt hat, was manchen Mathematikern die Haare zu Berge stehen lässt
-- nicht aber Bernhard \textsc{Riemann}.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{riemann.jpg}
\caption{Bernhard Riemann mit einem schönen Bart.}
\end{figure}
\section{Erklärung}
Wir können die Aussage aus Abschnitt 1 auch in eine Formel
schreiben, das Resultat sehen wir vielleicht in folgender Gleichung:
\begin{equation}
\sum_{n=0}^\infty n = -\frac{1}{12}
\end{equation}
\subsection{Ist das wirklich korrekt?}
Diese Frage ist \textit{durchaus} berechtigt. Man kann aber auf formale Art und
Weise zeigen, dass die richtige Interpretation zum
Ergebnis führt.
\subsection{Na klar.}
In vorigem Unterabschnitt haben wir bemerkt, dass wir die Summe auffassen
können als einen Grenzwert der Zetafunktion, $\zeta(-1) = -1/12$.
\begin{table}
\caption{Wert der $n$-ten Partialsumme}
\begin{center}
\begin{tabular}{r|l}
$n$ & Wert \\ \hline
0 & 0 \\
1 & 1 \\
2 & 3 \\
3 & 6 \\
$\infty$ & $-1/12$
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\section*{Epilog}
Dieser Teil soll nachher \textcolor{red}{nicht} im Inhaltsverzeichnis auftauchen, und
erhält damit auch keine Nummer. \\
Außerdem:
\begin{itemize}
\item Strukturierte Dokumente sind einfach mit \LaTeX.
\item Makros machen einem das Leben leicht.
\item Formeln -- und auch der ganze Rest -- sehen (noch nicht) toll aus.
\item Referenzen auf alles mögliche, also (Unter)$^n$abschnitte,
Gleichungen, Abbildungen, Tabellen, ... sind automatisch richtig.
\item Eigentlich ist das alles gar nicht so schwierig.
\end{itemize}
\vfill
% Der Befehl vfill fügt einen vertikalen Abstand ein, der den übrigen Platz
% ausfüllt
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{ctanlion.eps}
\end{center}
\vfill
% die beiden Abstände werden gleichmäßig verteilt. Das Bild erscheint also in
% der Mitte.
\end{document}
\documentclass[a4paper,german,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc} % Kompatibilität
\usepackage[ngerman]{babel} % Deutsche Silbentrennung
\usepackage{mathtools} % Viele Mathe-Tools
\usepackage{hyperref} % Links, die man klicken kann
\usepackage{xcolor} % mehr Farben
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry} % Seitengeometrie einstellen
\usepackage{graphicx} % Bilder einbinden.
\begin{document}
\begin{center}
{\Large\textsc{Die Summe der natürlichen Zahlen}}
\end{center}
\tableofcontents
\section{Einleitung}
\label{einleitung}
In dieser kurzen Abhandlung wollen wir erklären, wie man auf die (scheinbar)
\textbf{falsche} Aussage kommt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen
\textit{negativ} ist und einen Wert von minus einem Zwölftel annimmt.
% man kann Umlaute auch schreiben, indem man bspw. \"o für ö eingibt (sollte man
% bspw. die Umlaute nicht auf der eigenen Tastatur haben)
Warum diese Aussage zum einen nicht ganz \textcolor{red}{falsch} und zum anderen
auch \textcolor{blue}{wichtig} ist, wird euch vielleicht im Verlauf eures
Studiums klar werden. Ansonsten kann man sich auch einfach darüber freuen, dass
man etwas gelernt hat, was manchen Mathematikern die Haare zu Berge stehen lässt
-- nicht aber Bernhard \textsc{Riemann} (s. Abbildung \ref{riemann}).
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{riemann.jpg}
\caption{\label{riemann}Bernhard Riemann mit einem schönen Bart.}
\end{figure}
\section{Erklärung}
Wir können die Aussage aus Abschnitt \ref{einleitung} auch in eine Formel
schreiben, das Resultat sehen wir vielleicht in Gleichung \ref{summe}
\begin{equation}
\label{summe}
\sum_{n=0}^\infty n = -\frac{1}{12}
\end{equation}
\subsection{Ist das wirklich korrekt?}
\label{stimmt}
Diese Frage ist \textit{durchaus} berechtigt. Man kann aber auf formale Art und
Weise zeigen, dass die richtige Interpretation zum
Ergebnis führt.
\subsection{Na klar.}
In Unterabschnitt \ref{stimmt} haben wir bemerkt, dass wir die Summe auffassen
können als einen Grenzwert der Zetafunktion, $\zeta(-1) = -1/12$.
\begin{table}
\caption{Wert der $n$-ten Partialsumme}
\begin{center}
\begin{tabular}{r|l}
$n$ & Wert \\ \hline
0 & 0 \\
1 & 1 \\
2 & 3 \\
3 & 6 \\
$\infty$ & $-1/12$
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\section*{Epilog}
Dieser Teil soll nachher \textcolor{red}{nicht} im Inhaltsverzeichnis auftauchen, und
erhält damit auch keine Nummer. \\
Außerdem:
\begin{itemize}
\item Strukturierte Dokumente sind einfach mit \LaTeX.
\item Makros machen einem das Leben leicht.
\item Formeln -- und auch der ganze Rest -- sehen (noch nicht) toll aus.
\item Referenzen auf alles mögliche, also (Unter)$^n$abschnitte,
Gleichungen, Abbildungen, Tabellen, ... sind automatisch richtig.
\item Eigentlich ist das alles gar nicht so schwierig.
\end{itemize}
\vfill
% Der Befehl vfill fügt einen vertikalen Abstand ein, der den übrigen Platz
% ausfüllt
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{ctanlion.eps}
\end{center}
\vfill
% die beiden Abstände werden gleichmäßig verteilt. Das Bild erscheint also in
% der Mitte.
\end{document}
......@@ -11,13 +11,14 @@
\begin{document}
\begin{center}
\Large\textsc{Die Summe der natürlichen Zahlen}
{\Large\textsc{Die Summe der natürlichen Zahlen}}
\end{center}
\tableofcontents
\section{Einleitung}
\label{einleitung}
In dieser kurzen Abhandlung wollen wir erklären, wie man auf die (scheinbar)
\textbf{falsche} Aussage kommt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen
\textit{negativ} ist und einen Wert von minus einem Zwölftel annimmt.
......@@ -28,25 +29,24 @@ Studiums klar werden. Ansonsten kann man sich auch einfach darüber freuen, dass
man etwas gelernt hat, was manchen Mathematikern die Haare zu Berge stehen lässt
-- nicht aber Bernhard \textsc{Riemann} (s. Abbildung \ref{riemann}).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{riemann.jpg}
\end{center}
\centering
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{riemann.jpg}
\caption{\label{riemann}Bernhard Riemann mit einem schönen Bart.}
\end{figure}
\section{Erklärung}
Wir können die Aussage aus Abschnitt \ref{einleitung} auch in eine Formel
schreiben, das Resultat sehen wir in Gleichung \ref{ergebnis}.
schreiben, das Resultat sehen wir in Gleichung \ref{summe}
\begin{equation}
\label{ergebnis}
\sum_{n=0}^{\infty} \, n = - \frac{1}{12}
\label{summe}
\sum_{n=0}^\infty\, n = -\frac{1}{12}
% Stimmt das denn so wirklich?
\end{equation}
\subsection{Ist das wirklich korrekt?}
\label{korrekt}
\label{stimmt}
Diese Frage ist \textit{durchaus} berechtigt. Man kann aber auf formale Art und
Weise zeigen\footnote{s. z.B.
Weise zeigen\footnote{s. z.\,B.
\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche\_\%CE\%B6-Funktion\#Definition}},
dass die richtige Interpretation\footnote{Also wenn man die Summe als
analytische Fortsetzung der \textsc{Riemann}schen $\zeta$-Funktion sieht} zum
......@@ -54,8 +54,8 @@ Ergebnis führt.
\subsection{Na klar.}
\newcommand{\riemann}{\zeta(-1) = -\frac{1}{12}}
In Unterabschnitt \ref{korrekt} haben wir bemerkt, dass wir die Summe auffassen
können als $\riemann$.
In Unterabschnitt \ref{stimmt} haben wir bemerkt, dass wir die Summe auffassen
können als einen Grenzwert der Zetafunktion, $\riemann$.
\begin{table}[h]
\caption{\label{tabelle-partialsumme}Wert der $n$-ten Partialsumme}
\begin{center}
......@@ -79,7 +79,7 @@ Außerdem:
\item Makros machen einem das Leben leicht.
\item Formeln -- und auch der ganze Rest -- sehen toll aus.
\item Referenzen auf alles mögliche, also (Unter)$^n$abschnitte,
Gleichungen, Abbildungen, Tabellen, {\dots} sind automatisch richtig.
Gleichungen, Abbildungen, Tabellen, \dots{} sind automatisch richtig.
\item Eigentlich ist das alles gar nicht so schwierig.
\end{itemize}
\vfill
......
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