zeta.tex

\documentclass[a4paper,german,12pt]{article}

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\begin{document}

\begin{center}
  \Large\textsc{Die Summe der natürlichen Zahlen}
\end{center}

\tableofcontents

\section{Einleitung}
\label{einleitung}
In dieser kurzen Abhandlung wollen wir erklären, wie man auf die (scheinbar) 
\textbf{falsche} Aussage kommt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen 
\textit{negativ} ist und einen Wert von minus einem Zwölftel annimmt.

Warum diese Aussage zum Einen nicht ganz \textcolor{red}{falsch} und zum anderen 
auch \textcolor{blue}{wichtig} ist, wird euch vielleicht im Verlauf eures 
Studiums klar werden. Ansonsten kann man sich auch einfach darüber freuen, dass 
man etwas gelernt hat, was manchen Mathematikern die Haare zu Berge stehen lässt 
-- nicht aber Bernhard \textsc{Riemann} (s. Abbildung \ref{riemann}).
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{riemann.jpg}
  \end{center}
  \caption{\label{riemann}Bernhard Riemann mit einem schönen Bart.}
\end{figure}

\section{Erklärung}
Wir können die Aussage aus Abschnitt \ref{einleitung} auch in eine Formel 
schreiben, das Resultat sehen wir in Gleichung \ref{ergebnis}.
\begin{equation}
  \label{ergebnis}
  \sum_{n=0}^{\infty} \, n = - \frac{1}{12}
  % Stimmt das denn so wirklich?
\end{equation}

\subsection{Ist das wirklich korrekt?}
\label{korrekt}
Diese Frage ist \textit{durchaus} berechtigt. Man kann aber auf formale Art und 
Weise zeigen\footnote{s. z.B.  
\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche\_\%CE\%B6-Funktion\#Definition}}, 
dass die richtige Interpretation\footnote{Also wenn man die Summe als 
analytische Fortsetzung der \textsc{Riemann}schen $\zeta$-Funktion sieht} zum 
Ergebnis führt.

\subsection{Na klar.}
\newcommand{\riemann}{\zeta(-1) = -\frac{1}{12}}
In Unterabschnitt \ref{korrekt} haben wir bemerkt, dass wir die Summe auffassen 
können als $\riemann$.
\begin{table}[h]
  \caption{\label{tabelle-partialsumme}Wert der $n$-ten Partialsumme}
  \begin{center}
    \begin{tabular}{r|l}
      $n$ & Wert \\ \hline
      0 & 0 \\
      1 & 1 \\
      2 & 3 \\
      3 & 6 \\
      $\infty$ & $-1/12$
    \end{tabular}
  \end{center}
\end{table}

\section*{Epilog}
Dieser Teil soll \textcolor{red}{nicht} im Inhaltsverzeichnis auftauchen, und 
erhält damit auch keine Nummer.\\
Außerdem:
\begin{itemize}
  \item Strukturierte Dokumente sind einfach mit \LaTeX.
  \item Makros machen einem das Leben leicht.
  \item Formeln -- und auch der ganze Rest -- sehen toll aus.
  \item Referenzen auf alles mögliche, also (Unter)$^n$abschnitte,
    Gleichungen, Abbildungen, Tabellen, {\dots} sind automatisch richtig.
  \item Eigentlich ist das alles gar nicht so schwierig.
\end{itemize}
\vfill
% Der Befehl vfill fügt einen vertikalen Abstand ein, der den übrigen Platz
% ausfüllt
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{ctanlion.eps}
\end{center}
\vfill
% die beiden Abstände werden gleichmäßig verteilt. Das Bild erscheint also in
% der Mitte.

\end{document}