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\documentclass[a4paper,german,12pt]{article}

Lennart Klebl's avatar
Lennart Klebl committed
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\usepackage[utf8]{inputenc} % Kompatibilität
\usepackage[ngerman]{babel} % Deutsche Silbentrennung
\usepackage{mathtools} % Viele Mathe-Tools
\usepackage{hyperref} % Links, die man klicken kann
\usepackage{xcolor} % mehr Farben
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry} % Seitengeometrie einstellen
\usepackage{graphicx} % Bilder einbinden.
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\begin{document}

\begin{center}
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  {\Large\textsc{Die Summe der natürlichen Zahlen}}
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\end{center}

\tableofcontents

\section{Einleitung}
\label{einleitung}
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In dieser kurzen Abhandlung wollen wir erklären, wie man auf die (scheinbar) 
\textbf{falsche} Aussage kommt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen 
\textit{negativ} ist und einen Wert von minus einem Zwölftel annimmt.

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Stefan Heimersheim committed
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Warum diese Aussage zum einen nicht ganz \textcolor{red}{falsch} und zum anderen 
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auch \textcolor{blue}{wichtig} ist, wird euch vielleicht im Verlauf eures 
Studiums klar werden. Ansonsten kann man sich auch einfach darüber freuen, dass 
man etwas gelernt hat, was manchen Mathematikern die Haare zu Berge stehen lässt 
-- nicht aber Bernhard \textsc{Riemann} (s. Abbildung \ref{riemann}).
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Zunächst mal ein paar Eckdaten:
\begin{itemize}
    \item Von 1840 bis 1842 besuchte er ein Gymnasium in Hannover.
    \item Er ging bis 1846 auf das Gymnasium Johanneum in Lüneburg.
    \item 1846 begann er sein Studium in Göttingen.
\end{itemize}
\normalsize

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\begin{figure}[h]
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  \centering
  \includegraphics[width=0.3\textwidth]{riemann.jpg}
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  \caption{\label{riemann}Bernhard Riemann mit einem schönen Bart.}
\end{figure}

\section{Erklärung}
Wir können die Aussage aus Abschnitt \ref{einleitung} auch in eine Formel 
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schreiben, das Resultat sehen wir in Gleichung \ref{summe}
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\begin{equation}
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  \label{summe}
  \sum_{n=0}^\infty\, n = -\frac{1}{12}
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  % Stimmt das denn so wirklich?
\end{equation}

\subsection{Ist das wirklich korrekt?}
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\label{stimmt}
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Diese Frage ist \textit{durchaus} berechtigt. Man kann aber auf formale Art und 
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Weise zeigen\footnote{s. z.\,B.  
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\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche\_\%CE\%B6-Funktion\#Definition}}, 
dass die richtige Interpretation\footnote{Also wenn man die Summe als 
analytische Fortsetzung der \textsc{Riemann}schen $\zeta$-Funktion sieht} zum 
Ergebnis führt.

\subsection{Na klar.}
\newcommand{\riemann}{\zeta(-1) = -\frac{1}{12}}
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In Unterabschnitt \ref{stimmt} haben wir bemerkt, dass wir die Summe auffassen 
können als einen Grenzwert der Zetafunktion, $\riemann$.
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\begin{table}[h]
  \caption{\label{tabelle-partialsumme}Wert der $n$-ten Partialsumme}
  \begin{center}
    \begin{tabular}{r|l}
      $n$ & Wert \\ \hline
      0 & 0 \\
      1 & 1 \\
      2 & 3 \\
      3 & 6 \\
      $\infty$ & $-1/12$
    \end{tabular}
  \end{center}
\end{table}

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\section*{Epilog -- Ein paar Programmiertipps von Rob Pike}
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Most programs are too \textbf{complicated} - that is, more complex than they
\textit{need} to be to solve their problems \textit{efficiently}.  Why? Mostly
it's because of \textbf{bad design}, but I will skip that issue here because
it's a \textbf{\textcolor{red}{big}} one.  But programs are often complicated at the
microscopic level, and that is something I can address here.
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  \item  \textcolor{red}{You can't tell where a program is going to spend its
    time.}  Bottlenecks occur in surprising places, so don't try to second
    guess and put in a speed hack until you've proven that's where the
    bottleneck is.
  \item  \label{measure}\textcolor{red}{Measure.} Don't tune for speed until you've measured,
    and even then don't unless one part of the code overwhelms the rest.
  \item  \textcolor{red}{Fancy algorithms are slow when $n$ is small}, and $n$
    is usually small. Fancy algorithms have big constants. Until you know that
    $n$ is frequently going to be big, don't get fancy.  (Even if $n$ does get
    big, use \ref{measure}. first.) For example, binary trees are always faster
    than splay trees for workaday problems.
  \item  \textcolor{red}{Fancy algorithms are buggier} than simple ones, and
    they're much harder to implement.  Use simple algorithms as well as simple
    data structures.
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\end{enumerate}
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\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{ctanlion.eps}
\end{center}

\end{document}