zeta_5.tex 3.86 KB
Newer Older
1
2
\documentclass[a4paper,german,12pt]{article}

Lennart Klebl's avatar
Lennart Klebl committed
3
4
5
6
7
8
9
\usepackage[utf8]{inputenc} % Kompatibilität
\usepackage[ngerman]{babel} % Deutsche Silbentrennung
\usepackage{mathtools} % Viele Mathe-Tools
\usepackage{hyperref} % Links, die man klicken kann
\usepackage{xcolor} % mehr Farben
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry} % Seitengeometrie einstellen
\usepackage{graphicx} % Bilder einbinden.
10
11
12
13

\begin{document}

\begin{center}
Lennart Klebl's avatar
Lennart Klebl committed
14
  {\Large\textsc{Die Summe der natürlichen Zahlen}}
15
16
17
18
19
\end{center}

\tableofcontents

\section{Einleitung}
Lennart Klebl's avatar
Lennart Klebl committed
20

21
22
23
In dieser kurzen Abhandlung wollen wir erklären, wie man auf die (scheinbar) 
\textbf{falsche} Aussage kommt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen 
\textit{negativ} ist und einen Wert von minus einem Zwölftel annimmt.
Lennart Klebl's avatar
Lennart Klebl committed
24
25
% man kann Umlaute auch schreiben, indem man bspw. \"o für ö eingibt (sollte man
% bspw. die Umlaute nicht auf der eigenen Tastatur haben)
26

Stefan Heimersheim's avatar
Stefan Heimersheim committed
27
\footnotesize
28
Warum diese Aussage zum einen nicht ganz \textcolor{red}{falsch} und zum anderen 
29
30
31
auch \textcolor{blue}{wichtig} ist, wird euch vielleicht im Verlauf eures 
Studiums klar werden. Ansonsten kann man sich auch einfach darüber freuen, dass 
man etwas gelernt hat, was manchen Mathematikern die Haare zu Berge stehen lässt 
Lennart Klebl's avatar
Lennart Klebl committed
32
-- nicht aber Bernhard \textsc{Riemann}.
Stefan Heimersheim's avatar
Stefan Heimersheim committed
33
34
35
36
37
38
39
Zunächst mal ein paar Eckdaten:
\begin{itemize}
    \item Von 1840 bis 1842 besuchte er ein Gymnasium in Hannover.
    \item Er ging bis 1846 auf das Gymnasium Johanneum in Lüneburg.
    \item 1846 begann er sein Studium in Göttingen.
\end{itemize}
\normalsize
Lennart Klebl's avatar
Lennart Klebl committed
40
41
42
43
44
45

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.3\textwidth]{riemann.jpg}

  Abbildung 1: Bernhard Riemann mit einem schönen Bart.
\end{center}
46
47

\section{Erklärung}
Lennart Klebl's avatar
Lennart Klebl committed
48
49
50

Wir können die Aussage aus Abschnitt 1 auch in eine Formel 
schreiben, das Resultat sehen wir vielleicht in dieser Gleichung:
51
\begin{equation}
Lennart Klebl's avatar
Lennart Klebl committed
52
  \sum_{n=0}^\infty n = -\frac{1}{12}
53
54
55
\end{equation}

\subsection{Ist das wirklich korrekt?}
Lennart Klebl's avatar
Lennart Klebl committed
56

57
Diese Frage ist \textit{durchaus} berechtigt. Man kann aber auf formale Art und 
Lennart Klebl's avatar
Lennart Klebl committed
58
Weise zeigen, dass die richtige Interpretation zum 
59
60
61
Ergebnis führt.

\subsection{Na klar.}
Lennart Klebl's avatar
Lennart Klebl committed
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77

Im vorigen Unterabschnitt haben wir bemerkt, dass wir die Summe auffassen 
können als einen Grenzwert der Zetafunktion, $\zeta(-1) = -1/12$.

\begin{center}
Tabelle 1: Wert der $n$-ten Partialsumme

  \begin{tabular}{r|l}
    $n$ & Wert \\ \hline
    0 & 0 \\
    1 & 1 \\
    2 & 3 \\
    3 & 6 \\
    $\infty$ & $-1/12$
  \end{tabular}
\end{center}
78

79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
\section*{Epilog -- Ein paar Programmiertipps von Rob Pike}
Most programs are too \textbf{complicated} - that is, more complex than they
\textit{need} to be to solve their problems \textit{efficiently}.  Why? Mostly
it's because of \textbf{bad design}, but I will skip that issue here because
it's a \textbf{\textcolor{red}{big}} one.  But programs are often complicated at the
microscopic level, and that is something I can address here.
\begin{enumerate}
  \item  \textcolor{red}{You can't tell where a program is going to spend its
    time.}  Bottlenecks occur in surprising places, so don't try to second
    guess and put in a speed hack until you've proven that's where the
    bottleneck is.
  \item  \textcolor{red}{Measure.} Don't tune for speed until you've measured,
    and even then don't unless one part of the code overwhelms the rest.
  \item  \textcolor{red}{Fancy algorithms are slow when $n$ is small}, and $n$
    is usually small. Fancy algorithms have big constants. Until you know that
    $n$ is frequently going to be big, don't get fancy.  (Even if $n$ does get
    big, use 2. first.) For example, binary trees are always faster
    than splay trees for workaday problems.
  \item  \textcolor{red}{Fancy algorithms are buggier} than simple ones, and
    they're much harder to implement.  Use simple algorithms as well as simple
    data structures.
\end{enumerate}
101
102
103
104
105
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{ctanlion.eps}
\end{center}

\end{document}